THANKS FOR VISITING
😊😊😊😊😊😊😊😊
STAY TUNED
LIKE SHARE AND COMMENT
CONTACT US:
GMAIL: physicsinn786@gmail.com
FACEBOOK FOLLOW: https://facebook.com/physicsINN
DUAON MA YAD RAKHIYA GA
CONTENTS
Contents
Pref ace to t he Second Edit ion xiii
Preface to the First Edition xv
Note to the Student xvi
1 Origins of Quantum Physics 1
1.1 Histor ical Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Parti cle Aspect of Radiat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Bl ackbody Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. 2.2 Photoelectric E ffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. 2.3 Co mpton Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Pair Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Wave Aspect of Parti cl es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 de Broglie’s Hypoth esis: Matter Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Experiment al Con fi rmati on of de Brogli e’s Hypot hesis . . . . . . . . . 18
1. 3.3 Matter Waves for Macr oscopic Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Parti cles versus Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. 4.1 Cl assical View of Par ticles and Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. 4.2 Quant um View of Particles and Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Wave–Particle Duality: Complementarity . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.4 Pri ncipl e of Linear Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 I ndet er ministic Nature of t he Mi cr ophysi cal Wor ld . . . . . . . . . . . . . . . 27
1. 5.1 Hei senberg’s Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1. 5.2 Probabili sti c Interpr etatio n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Atom ic Transit ions and S pectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1 Ru therford Planetary Model of t he Atom . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2 Bo hr Model of the Hydrogen Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Quantization Rul es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 Wave Packet s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1. 8.1 Localized Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1. 8.2 Wave Packets and the Uncertaint y Relat ions . . . . . . . . . . . . . . . 42
1. 8.3 Mot ion of Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.9 Concluding Remar ks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.10 S olved Probl ems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.11 E xercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
v
2 Mathemat ical Tools of Quantum Mechanics 79
2.1 Intr oduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2 The Hi lbert S pace and Wave F unct ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2. 1 T he Li near Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2. 2 T he Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2. 3 Dimension and Basis of a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.4 Square-Integrabl e Functions: Wave Functions . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3 Dirac Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4 Oper at ors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4.1 General De fi niti ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4. 2 Hermit ian Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4. 3 P roject ion Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4. 4 Commut ator Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4.5 Uncertainty Relation between Two Operators . . . . . . . . . . . . . . 95
2.4.6 Functi ons of Operator s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4. 7 Inverse and Uni tar y Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.4. 8 E igenvalues and Eigenvectors of an Operator . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4.9 In fi nitesi mal and F inite Uni tar y Transformations . . . . . . . . . . . . 101
2.5 Repr esentation i n Discr ete Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5.1 Matrix Representat ion of Kets, Bras, and Operators . . . . . . . . . . . 105
2.5.2 Change of Bases and Unitary Tr ansfor mat ions . . . . . . . . . . . . . 114
2.5.3 Matrix Represen tat ion of the Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . 117
2.6 Representation i n Continuous Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.6. 1 General Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.6. 2 P ositi on Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.6. 3 Momentum Represent at ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.6.4 Connect ing th e Position and Momentum Representations . . . . . . . . 124
2.6. 5 Parity Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.7 Matr ix and Wave Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.7. 1 Matrix Mechani cs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.7. 2 Wave Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.8 Concl uding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.9 Solved Pr oblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.1 0 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3 Postulat es of Q uant um Mechanics 165
3.1 Intr oduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.2 The Basic Postulates of Quant um Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.3 The State of a S ystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3.1 Probability Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3.2 The Superposition Princi ple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4 Observables and Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5 Measu rement in Quant um Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5. 1 How Measurements Disturb Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5. 2 Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.5.3 Complete Set s of Commuting Oper ator s (CSCO) . . . . . . . . . . . . 175
3.5.4 Measurement and the Uncertainty Relations . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.6 Time Evolution of the System’s State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.6.1 Time Evolution Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.6.2 Stationary States: Time-Independent Potentials . . . . . . . . . . . . . 179
3.6.3 Schrödinger Equation and Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.6.4 The Conservation of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.6.5 Time Evolution of Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.7 Symmetries and Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.7.1 In finitesimal Unitary Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.7.2 Finite Unitary Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.7.3 Symmetries and Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.8 Connecting Quantum to Classical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.8.1 Poisson Brackets and Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.8.2 The Ehrenfest Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.8.3 Quantum Mechanics and Classical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . 190
3.9 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4 One-Dimensional Problems 215
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.2 Properties of One-Dimensional Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.1 Discrete Spectrum (Bound States) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.2 Continuous Spectrum (Unbound States) . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.3 Mixed Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.4 Symmetric Potentials and Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.3 The Free Particle: Continuous States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.4 The Potential Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.5 The Potential Barrier and Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.5.1 The Case E V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.5.2 The Case E V0: Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.5.3 The Tunneling Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.6 The In finite Square Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.6.1 The Asymmetric Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.6.2 The Symmetric Potential Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.7 The Finite Square Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.7.1 The Scattering Solutions (E V0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.7.2 The Bound State Solutions (0 E V0) . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.8 The Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.8.1 Energy Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.8.2 Energy Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.8.3 Energy Eigenstates in Position Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.8.4 The Matrix Representation of Various Operators . . . . . . . . . . . . 247
4.8.5 Expectation Values of Various Operators . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.9 Numerical Solution of the Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.9.1 Numerical Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.9.2 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.10 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5 Angul ar Momentum 283
5.1 Intr oduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.2 Orbital Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.3 General Formalism of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.4 Matrix Representation of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.5 Geomet rical Representation of Angul ar Momentum . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.6 Spin Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.6.1 Exper imental Evidence of the Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.6. 2 General T heor y of Spi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.6.3 Spin 1 2 and the Pauli Matr ices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.7 Eigenf uncti ons of Or bital Angul ar Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.7.1 Eigenfunctions and Eigenvalues of L z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
5.7.2 Eigenfunctions of L; 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.7.3 Properties of the Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.8 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6 Three-Di mensi onal Problems 333
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2 3D Problems in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2.1 General Treatment: Separation of Variables . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2.2 The Free Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.2.3 The Box Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.2.4 The Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.3 3D Problems in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.3.1 Central Potential: General Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.3.2 The Free Particle in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.3.3 The Spherical Square Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.3.4 The Isotropic Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.3.5 The Hydrogen Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.3.6 Effect of Magnetic Fields on Central Potentials . . . . . . . . . . . . . 365
6.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.5 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
7 Rotations and Addition of Angular Momenta 391
7.1 Rotations in Classical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.2 Rotations in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.2.1 In finitesimal Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.2.2 Finite Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
7.2.3 Properties of the Rotation Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.2.4 Euler Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.2.5 Representation of the Rotation Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.2.6 Rotation Matrices and the Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . . 400
7.3 Addition of Angular Momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.3.1 Addition of Two Angular Momenta: General Formalism . . . . . . . . 403
7.3.2 Calculation of the Clebsch–Gordan Coefficients . . . . . . . . . . . . . 409
Pref ace to t he Second Edit ion xiii
Preface to the First Edition xv
Note to the Student xvi
1 Origins of Quantum Physics 1
1.1 Histor ical Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Parti cle Aspect of Radiat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Bl ackbody Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. 2.2 Photoelectric E ffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. 2.3 Co mpton Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Pair Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Wave Aspect of Parti cl es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 de Broglie’s Hypoth esis: Matter Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Experiment al Con fi rmati on of de Brogli e’s Hypot hesis . . . . . . . . . 18
1. 3.3 Matter Waves for Macr oscopic Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Parti cles versus Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. 4.1 Cl assical View of Par ticles and Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. 4.2 Quant um View of Particles and Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Wave–Particle Duality: Complementarity . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.4 Pri ncipl e of Linear Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 I ndet er ministic Nature of t he Mi cr ophysi cal Wor ld . . . . . . . . . . . . . . . 27
1. 5.1 Hei senberg’s Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1. 5.2 Probabili sti c Interpr etatio n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Atom ic Transit ions and S pectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1 Ru therford Planetary Model of t he Atom . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2 Bo hr Model of the Hydrogen Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Quantization Rul es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 Wave Packet s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1. 8.1 Localized Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1. 8.2 Wave Packets and the Uncertaint y Relat ions . . . . . . . . . . . . . . . 42
1. 8.3 Mot ion of Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.9 Concluding Remar ks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.10 S olved Probl ems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.11 E xercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
v
2 Mathemat ical Tools of Quantum Mechanics 79
2.1 Intr oduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2 The Hi lbert S pace and Wave F unct ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2. 1 T he Li near Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2. 2 T he Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2. 3 Dimension and Basis of a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.4 Square-Integrabl e Functions: Wave Functions . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3 Dirac Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4 Oper at ors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4.1 General De fi niti ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4. 2 Hermit ian Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4. 3 P roject ion Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4. 4 Commut ator Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4.5 Uncertainty Relation between Two Operators . . . . . . . . . . . . . . 95
2.4.6 Functi ons of Operator s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4. 7 Inverse and Uni tar y Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.4. 8 E igenvalues and Eigenvectors of an Operator . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4.9 In fi nitesi mal and F inite Uni tar y Transformations . . . . . . . . . . . . 101
2.5 Repr esentation i n Discr ete Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5.1 Matrix Representat ion of Kets, Bras, and Operators . . . . . . . . . . . 105
2.5.2 Change of Bases and Unitary Tr ansfor mat ions . . . . . . . . . . . . . 114
2.5.3 Matrix Represen tat ion of the Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . 117
2.6 Representation i n Continuous Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.6. 1 General Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.6. 2 P ositi on Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.6. 3 Momentum Represent at ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.6.4 Connect ing th e Position and Momentum Representations . . . . . . . . 124
2.6. 5 Parity Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.7 Matr ix and Wave Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.7. 1 Matrix Mechani cs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.7. 2 Wave Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.8 Concl uding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.9 Solved Pr oblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.1 0 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3 Postulat es of Q uant um Mechanics 165
3.1 Intr oduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.2 The Basic Postulates of Quant um Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.3 The State of a S ystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3.1 Probability Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3.2 The Superposition Princi ple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4 Observables and Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5 Measu rement in Quant um Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5. 1 How Measurements Disturb Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5. 2 Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.5.3 Complete Set s of Commuting Oper ator s (CSCO) . . . . . . . . . . . . 175
3.5.4 Measurement and the Uncertainty Relations . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.6 Time Evolution of the System’s State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.6.1 Time Evolution Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.6.2 Stationary States: Time-Independent Potentials . . . . . . . . . . . . . 179
3.6.3 Schrödinger Equation and Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.6.4 The Conservation of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.6.5 Time Evolution of Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.7 Symmetries and Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.7.1 In finitesimal Unitary Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.7.2 Finite Unitary Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.7.3 Symmetries and Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.8 Connecting Quantum to Classical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.8.1 Poisson Brackets and Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.8.2 The Ehrenfest Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.8.3 Quantum Mechanics and Classical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . 190
3.9 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4 One-Dimensional Problems 215
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.2 Properties of One-Dimensional Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.1 Discrete Spectrum (Bound States) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.2 Continuous Spectrum (Unbound States) . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.3 Mixed Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.4 Symmetric Potentials and Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.3 The Free Particle: Continuous States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.4 The Potential Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.5 The Potential Barrier and Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.5.1 The Case E V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.5.2 The Case E V0: Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.5.3 The Tunneling Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.6 The In finite Square Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.6.1 The Asymmetric Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.6.2 The Symmetric Potential Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.7 The Finite Square Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.7.1 The Scattering Solutions (E V0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.7.2 The Bound State Solutions (0 E V0) . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.8 The Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.8.1 Energy Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.8.2 Energy Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.8.3 Energy Eigenstates in Position Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.8.4 The Matrix Representation of Various Operators . . . . . . . . . . . . 247
4.8.5 Expectation Values of Various Operators . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.9 Numerical Solution of the Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.9.1 Numerical Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.9.2 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.10 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5 Angul ar Momentum 283
5.1 Intr oduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.2 Orbital Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.3 General Formalism of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.4 Matrix Representation of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.5 Geomet rical Representation of Angul ar Momentum . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.6 Spin Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.6.1 Exper imental Evidence of the Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.6. 2 General T heor y of Spi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.6.3 Spin 1 2 and the Pauli Matr ices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.7 Eigenf uncti ons of Or bital Angul ar Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.7.1 Eigenfunctions and Eigenvalues of L z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
5.7.2 Eigenfunctions of L; 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.7.3 Properties of the Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.8 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6 Three-Di mensi onal Problems 333
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2 3D Problems in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2.1 General Treatment: Separation of Variables . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2.2 The Free Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.2.3 The Box Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.2.4 The Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.3 3D Problems in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.3.1 Central Potential: General Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.3.2 The Free Particle in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.3.3 The Spherical Square Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.3.4 The Isotropic Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.3.5 The Hydrogen Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.3.6 Effect of Magnetic Fields on Central Potentials . . . . . . . . . . . . . 365
6.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.5 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
7 Rotations and Addition of Angular Momenta 391
7.1 Rotations in Classical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.2 Rotations in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.2.1 In finitesimal Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.2.2 Finite Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
7.2.3 Properties of the Rotation Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.2.4 Euler Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.2.5 Representation of the Rotation Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.2.6 Rotation Matrices and the Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . . 400
7.3 Addition of Angular Momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.3.1 Addition of Two Angular Momenta: General Formalism . . . . . . . . 403
7.3.2 Calculation of the Clebsch–Gordan Coefficients . . . . . . . . . . . . . 409
7.3.3 Coupling of Orbital and Spin Angular Momenta . . . . . . . . . . . . 415
7.3.4 Addition of More Than Two Angular Momenta . . . . . . . . . . . . . 419
7.3.5 Rotation Matrices for Coupling Two Angular Momenta . . . . . . . . . 420
7.3.6 Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
7.4 Scalar, Vector, and Tensor Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
7.4.1 Scalar Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
7.4.2 Vector Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
7.4.3 Tensor Operators: Reducible and Irreducible Tensors . . . . . . . . . . 428
7.4.4 Wigner–Eckart Theorem for Spherical Tensor Operators . . . . . . . . 430
7.5 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
Identical Particles 455
8.1 Many-Particle Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.1.1 Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.1.2 Interchange Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
8.1.3 Systems of Distinguishable Noninteracting Particles . . . . . . . . . . 458
8.2 Systems of Identical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
8.2.1 Identical Particles in Classical and Quantum Mechanics . . . . . . . . 460
8.2.2 Exchange Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
8.2.3 Symmetrization Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.2.4 Constructing Symmetric and Antisymmetric Functions . . . . . . . . . 464
8.2.5 Systems of Identical Noninteracting Particles . . . . . . . . . . . . . . 464
8.3 The Pauli Exclusion Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
8.4 The Exclusion Principle and the Periodic Table . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
8.5 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
Approximation Methods for Stationary States 489
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
9.2 Time-Independent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
9.2.1 Nondegenerate Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
9.2.2 Degenerate Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
9.2.3 Fine Structure and the Anomalous Zeeman Effect . . . . . . . . . . . . 499
9.3 The Variational Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
9.4 The Wentzel–Kramers–Brillouin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
9.4.1 General Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
9.4.2 Bound States for Potential Wells with No Rigid Walls . . . . . . . . . 518
9.4.3 Bound States for Potential Wells with One Rigid Wall . . . . . . . . . 524
9.4.4 Bound States for Potential Wells with Two Rigid Walls . . . . . . . . . 525
9.4.5 Tunneling through a Potential Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
9.5 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
9.6 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
10 Time-Dependent Perturbation Theory 571
10.1 Intr oduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
10.2 The Pictures of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
10.2. 1 T he Schröding er Pi ctur e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
10.2.2 The Heisenberg Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
10.2. 3 T he Interaction Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
10. 3 Ti me-Dependent Perturbati on T heor y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
10.3.1 Transi tion P robabilit y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
10.3.2 Transi tion P robabilit y for a Constant Perturbation . . . . . . . . . . . . 577
10.3.3 Transi tion P robabilit y for a Harmo nic Perturbat ion . . . . . . . . . . . 579
10.4 Adiabat ic and Sudden Approximatio ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
10.4. 1 Adiabatic Appro ximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
10.4.2 Sudden Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
10. 5 Interaction of At oms with Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
10.5.1 Classical Treatment of the Incident Radiation . . . . . . . . . . . . . . 587
10.5.2 Quantization of the Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . 588
10.5.3 Transi tion Rates for Absorption an d Emission of Radiation . . . . . . . 591
10.5.4 Transi tion Rates within the Dipol e Approximation . . . . . . . . . . . 592
10.5.5 The El ectri c Dipole S election Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10.5.6 Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
10. 6 Solved Pr oblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
10. 7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
11 Scattering Theory 617
11. 1 Scattering and Cross Sect ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
11.1.1 Connect ing th e Angles in th e Lab and CM frames . . . . . . . . . . . . 618
11.1.2 Connect ing th e Lab and CM Cr oss S ections . . . . . . . . . . . . . . . 620
11. 2 Scattering Amplitude o f S pinless Parti cles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
11.2.1 Scattering Amplit ude and Different ial Cross Section . . . . . . . . . . 623
11.2.2 Scattering Amplit ude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
11. 3 The Bor n Approxi mat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
11.3.1 The Fir st Born Appr oximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
11.3.2 Val idity of t he Fir st Born Appr oximation . . . . . . . . . . . . . . . . 629
11. 4 Par tial Wave Analysi s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
11.4.1 Partial Wave Analysis for Elastic Scat ter ing . . . . . . . . . . . . . . . 631
11.4.2 Partial Wave Analysis for Inelastic Scattering . . . . . . . . . . . . . . 635
11. 5 Scattering of I dentical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
11. 6 Solved Pr oblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
11. 7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
A The Delta Function 653
A.1 One- Dimensio nal Delta Functio n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
A.1.1 Var ious De fi nitions of t he Del ta Function . . . . . . . . . . . . . . . . 653
A.1.2 Properties of the Delta Funct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
A.1. 3 Derivative of t he Del ta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
A.2 Thr ee-Dim ensional Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
B Angular Momentum in Spheri cal Coordinat es 657
B.1 Derivation of Some General Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
B.2 Gradient and Laplacian in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . 658
B.3 Angular Momentum in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
C C++ Code for Sol ving the S chrödinger Equation 661
I nd ex 665
7.3.4 Addition of More Than Two Angular Momenta . . . . . . . . . . . . . 419
7.3.5 Rotation Matrices for Coupling Two Angular Momenta . . . . . . . . . 420
7.3.6 Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
7.4 Scalar, Vector, and Tensor Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
7.4.1 Scalar Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
7.4.2 Vector Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
7.4.3 Tensor Operators: Reducible and Irreducible Tensors . . . . . . . . . . 428
7.4.4 Wigner–Eckart Theorem for Spherical Tensor Operators . . . . . . . . 430
7.5 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
Identical Particles 455
8.1 Many-Particle Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.1.1 Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.1.2 Interchange Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
8.1.3 Systems of Distinguishable Noninteracting Particles . . . . . . . . . . 458
8.2 Systems of Identical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
8.2.1 Identical Particles in Classical and Quantum Mechanics . . . . . . . . 460
8.2.2 Exchange Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
8.2.3 Symmetrization Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.2.4 Constructing Symmetric and Antisymmetric Functions . . . . . . . . . 464
8.2.5 Systems of Identical Noninteracting Particles . . . . . . . . . . . . . . 464
8.3 The Pauli Exclusion Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
8.4 The Exclusion Principle and the Periodic Table . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
8.5 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
Approximation Methods for Stationary States 489
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
9.2 Time-Independent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
9.2.1 Nondegenerate Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
9.2.2 Degenerate Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
9.2.3 Fine Structure and the Anomalous Zeeman Effect . . . . . . . . . . . . 499
9.3 The Variational Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
9.4 The Wentzel–Kramers–Brillouin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
9.4.1 General Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
9.4.2 Bound States for Potential Wells with No Rigid Walls . . . . . . . . . 518
9.4.3 Bound States for Potential Wells with One Rigid Wall . . . . . . . . . 524
9.4.4 Bound States for Potential Wells with Two Rigid Walls . . . . . . . . . 525
9.4.5 Tunneling through a Potential Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
9.5 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
9.6 Solved Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
10 Time-Dependent Perturbation Theory 571
10.1 Intr oduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
10.2 The Pictures of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
10.2. 1 T he Schröding er Pi ctur e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
10.2.2 The Heisenberg Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
10.2. 3 T he Interaction Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
10. 3 Ti me-Dependent Perturbati on T heor y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
10.3.1 Transi tion P robabilit y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
10.3.2 Transi tion P robabilit y for a Constant Perturbation . . . . . . . . . . . . 577
10.3.3 Transi tion P robabilit y for a Harmo nic Perturbat ion . . . . . . . . . . . 579
10.4 Adiabat ic and Sudden Approximatio ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
10.4. 1 Adiabatic Appro ximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
10.4.2 Sudden Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
10. 5 Interaction of At oms with Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
10.5.1 Classical Treatment of the Incident Radiation . . . . . . . . . . . . . . 587
10.5.2 Quantization of the Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . 588
10.5.3 Transi tion Rates for Absorption an d Emission of Radiation . . . . . . . 591
10.5.4 Transi tion Rates within the Dipol e Approximation . . . . . . . . . . . 592
10.5.5 The El ectri c Dipole S election Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10.5.6 Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
10. 6 Solved Pr oblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
10. 7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
11 Scattering Theory 617
11. 1 Scattering and Cross Sect ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
11.1.1 Connect ing th e Angles in th e Lab and CM frames . . . . . . . . . . . . 618
11.1.2 Connect ing th e Lab and CM Cr oss S ections . . . . . . . . . . . . . . . 620
11. 2 Scattering Amplitude o f S pinless Parti cles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
11.2.1 Scattering Amplit ude and Different ial Cross Section . . . . . . . . . . 623
11.2.2 Scattering Amplit ude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
11. 3 The Bor n Approxi mat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
11.3.1 The Fir st Born Appr oximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
11.3.2 Val idity of t he Fir st Born Appr oximation . . . . . . . . . . . . . . . . 629
11. 4 Par tial Wave Analysi s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
11.4.1 Partial Wave Analysis for Elastic Scat ter ing . . . . . . . . . . . . . . . 631
11.4.2 Partial Wave Analysis for Inelastic Scattering . . . . . . . . . . . . . . 635
11. 5 Scattering of I dentical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
11. 6 Solved Pr oblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
11. 7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
A The Delta Function 653
A.1 One- Dimensio nal Delta Functio n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
A.1.1 Var ious De fi nitions of t he Del ta Function . . . . . . . . . . . . . . . . 653
A.1.2 Properties of the Delta Funct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
A.1. 3 Derivative of t he Del ta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
A.2 Thr ee-Dim ensional Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
B Angular Momentum in Spheri cal Coordinat es 657
B.1 Derivation of Some General Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
B.2 Gradient and Laplacian in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . 658
B.3 Angular Momentum in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
C C++ Code for Sol ving the S chrödinger Equation 661
I nd ex 665
0 Comments
IF YOU HAVE ANY DOUBT COMMENT IN COMMENT BOX